El primero sobre Matematicas

"Las matemáticas son el lenguaje con el que podemos entender con precisión la naturaleza, en todos sus aspectos. Su gran ventaja es que aportan soluciones muy amplias y pueden resolver de golpe gran diversidad de problemas"   

 Hortensia Galeana

Rugido seis: La distancia entre Pitágoras y Fermat

El objetivo del siguiente ronroneo es, mediante conceptos matemáticos que a la fecha comprendo mínimamente, abrir un proceso imaginativo y de comunicación. El escrito, como acertadamente puede sospechar el lector, carece de sustento técnico y no tiene la pretensión de probar, cuestionar, difamar o refutar ningún concepto de matemáticas.

Dos mil años  aparte, las vidas de Pitágoras y Fermat se pueden leer como dos páginas complementarias de un mismo libro.

Pitágoras denunció la relación matemática que se encuentra en los lados de cualquier triángulo rectángulo establecida con su teorema:

a^2+b^2=c^2

Mientras que Fermat denunció que esa perfecta relación dada en la ecuación de Pitágoras no es extrapolable para ningún trio de números enteros elevados a una potencia mayor a 2.  

En su último teorema descrito de la forma:

Siendo a, b y c números enteros positivos y n un número entero mayor a 2

a^n+b^n≠c^n

Esto no solo hace el teorema de Pitágoras más interesante sino también nos permite divagar las razones  que prohíben la existencia de soluciones enteras para esta ecuación  cuando se usan exponentes superiores a dos.

Boyer y Merzbach en su libro “A History of Mathematics” narran que antes de que naciera Pitágoras ya existía una tabilla de origen babilónico con la regla para generar ternas pitagóricas. Es decir, ternas de números enteros que cumplen la relación expresada en el teorema de Pitágoras (Ejemplo: 3,4 y 5).

La regla extraída de la tablilla babilónica dice que siendo C un número impar, una terna pitagórica será de la forma:

 (C^2-1)/2 ;C ;(C^2+1)/2

Usando los datos del ejemplo anterior  usamos C = 3 para obtener la terna: 3,4,5.

En un formato más general las ternas babilónicas se obtienen sustituyendo valores para las expresiones siguientes:

a= 2uv ;   b = v^2-u^2; c= v^2+u^2

Siendo u y v números enteros positivos relativamente primos (no múltiplos el uno del otro)

Si sustituimos estos valores en la ecuación de Pitágoras podemos verificar que la reducción babilónica de los términos a, b y c es correcta.

¿Por qué a lo largo de la historia diferentes culturas han descubierto y corroborado de manera independiente el postulado de Pitágoras pero no el de Fermat?

Esta pregunta me parece interesante siendo que se trata de la misma ecuación variando únicamente  el valor de los exponentes usados.

Tal vez la herramienta usada para comprobar el teorema de Pitágoras es la clave para responder esta pregunta. El teorema de Pitágoras, plantea una relación matemática universal. Sin embargo su demostración inicial, principal utilización y aceptación están basados en el triángulo.

La relación matemática existe con o sin triángulo. Sin embargo, la capacidad de visualizar una ley matemática ha sido la clave para que conceptos fundamentales de la naturaleza puedan ser entendidos, corroborados y compartidos a lo largo de la historia.

Fermat atrapó un concepto matemático tan cierto y poderoso como Pitágoras pero la comprobación de tal ley está fuera del alcance de lo que podemos de manera empírica construir o visualizar.  Múltiples matemáticos trataron de cortar la fruta del árbol que Fermat plantó con su teorema y tomó más de trescientos años para que el británico Andrew Wiles logrará la legendaria hazaña de corroborar la veracidad del último teorema del matemático francés.

Considero importante hacer notar que Wiles no logró comprobar el teorema de Fermat sin ayuda. Fueron los japoneses  Yataka Taniyama  y Goro Shimura los que abrieron la puerta mediante la postulación de su  teorema de modularidad. Una vez postulada la conjetura de modularidad –ahora teorema-, el alemán Gerhard Frey,  al intentar desafiar el enunciado de los japoneses utilizando una curva elíptica (que ahora lleva su nombre)  que satisface a la ecuación de Fermat, creó el vínculo que utilizaría Wiles para lograr la famosa comprobación. Es decir, si el postulado de los japoneses era falso entonces también el postulado de Fermat lo sería y solo se necesitaba comprobar el primero para comprobar el segundo.

Wiles logró comprobar un caso de la conjetura Taniyama-Shimura y como consecuencia también comprobó el teorema de Fermat.

¿Es la comprobación de Wiles la única forma de comprobar el teorema de Fermat?

Estoy seguro que no. La naturaleza de las matemáticas usadas por Wiles  es la verdadera solución de la demostración y de otros enigmas existentes.

¿Por qué la gente creía (y lamentablemente algunos todavía lo creen) que la tierra era plana y no esférica?

La respuesta más intuitiva sería: porque parece plana. Porque cualquier ser humano localizado en cualquier punto de la superficie de la tierra no puede distinguir a simple vista su curvatura. Sin embargo, la tierra es esférica y esto se comprobó desde  el año 1521 cuando Fernando de Magallanes la circunnavegó. Matemáticamente  se puede entender y comprobar esto por medio de conceptos de topología.

En topología, una superficie es un objeto geométrico que alrededor de cada uno de sus puntos se ve como un plano. La esfera es un buen ejemplo pero existen otros tipos como el toroide (dona).

          

Considerando las propiedades de una superficie topológica se puede decir que la tierra es “localmente” plana. Esto hace posible el uso de coordenadas/ planos bidimensionales o cartesianos  y también justifica el por qué tardamos tanto tiempo en aceptar  generalizadamente que tiene una forma esférica.

Conclusiones

Los receptores de nuestros ojos no nos permiten ver los colores que otros animales pueden ver.  Tampoco podemos oír las señales de telefonía  que están a nuestro alrededor,sin embargo,  ahí están.

La naturaleza quiere mostrarnos las leyes que la gobiernan pero, al igual que con el teorema de Fermat, no podremos identificar o descifrar estas leyes si no cambiamos las herramientas con las que construimos y validamos nuestros pensamientos. Si como grupo no estamos familiarizados con principios matemáticos complejos, seguirán pasando siglos antes de que de manera general podamos empujar la frontera del conocimiento existente. Mientras transcurren esos siglos, los seres humanos promedio tendremos que conformarnos con explorar únicamente  lo que podemos ver y tocar.

La distancia entre Pitágoras y Fermat (Wiles) es precisamente el tiempo que nos tomó detectar está oportunidad que la naturaleza siempre nos ha ofrecido.